Question

21. 已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：

a₁=a,　a_n=f（a_n－1）（n=2,3,4,…）,　a₂≠a₁,

f（a_n）－f（a_n－1）=k（a_n－a_n－1）（n=2,3,4,…）.

其中a为常数，k为非零常数.

（Ⅰ）令b_n=a_n+1－a_n（n∈N*），证明数列{b_n}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）当|k|＜1时，求a_n.

Answer 1

21.本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念.考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）证明：由b₁=a₂－a₁≠0,可得

b₂=a₃－a₂=f（a₂）－f（a₁）=k（a₂－a₁）≠0.

由数学归纳法可证b_n=a_n+1－a_n≠0（n∈N*）.

由题设条件，当n≥2时,

=

=

=

=k.

因此，数列{b_n}是一个公比为k的等比数列.

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知，b_n=k^n－1b₁=k^n－1（a₂－a₁）　（n∈N*）.

当k≠1时

b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）           （n≥2）;

当k=1时

b₁+b₂+…+b_n－1=（n－1）（a₂－a₁）　              （n≥2）.

而           b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）+（a₃－a₂）+…+（a_n－a_n－1）

=a_n－a₁ （n≥2）.

所以，当k≠1时

a_n－a₁=（a₂－a₁）　      （n≥2）.

上式对n=1也成立.所以，数列{a_n}的通项公式为

a_n=a+（f（a）－a）      （n∈N*）.

当k=1时

a_n－a₁=（n－1）（a₂－a₁）　     （n≥2）.

上式对n=1也成立.所以，数列{a_n}的通项公式为

a_n=a+（n－1）（f（a）－a）      （n∈N*）.

（Ⅲ）解：当|k|＜1时，

a_n=［a+（f（a）－a）］

=a+.