Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数为0时x的值，利用x的范围讨论导函数的正负来研究函数的增减性得到函数的极小值即可；
（2）分情况当a=0得到f（x）与x轴只有一个交点；当a＜0时，讨论函数的增减性得到函数的极值即可得到与x轴的交点；当0＜a＜2时讨论函数的增减性得到与x轴只有一个交点；当a＞2时，由（1）得到函数的极大值小于0，得到与x轴有一个交点．

解答：解：（1）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
∵a＞2，∴

2

a

＜1
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＞0；
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）内单调递增，在(

2

a

，1)内单调递减
故f（x）的极小值为f(1)=-

a

2

（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点．
②若a＜0，则

2

a

＜1，
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＜0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＞0
∴f（x）的极大值为f(1)=-

a

2

＞0
∵f（x）的极小值为f(

2

a

)＜0
∴f（x）的图象与x轴有三个公共点．
③若0＜a＜2，则

2

a

＞1．
∴当x＜1或x＞

2

a

时，f'（x）＞0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
④若a=2，则f'（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
⑤当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，函数图象与x轴只有一个交点．
综上所述，若a≥0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点；
若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个公共点．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用分类讨论的数学思想来解决数学问题．