Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，短轴长是2．

（1）求a，b的值；
（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）a＝2，b＝1（2）.

试题分析：（1）两个未知数，两个独立条件.由 a²＝b²＋c²，解得a＝2，b＝1．正确解答本题需注意短轴长为而不是（2）本题关键是用l₁的斜率为k表示出△DMN的面积，因为为直线l₁与椭圆C的交点，所以由直线l₁方程与椭圆C的方程联立方程组得M坐标为，从而有．由于N与M相似性，可用代k直接得，所以△DMN的面积S＝，到此只需将S代入，并化简可得k的取值范围为．
试题解析：
（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a²＝b²＋c²，
解得a＝2，b＝1．                                   4分
（2）由（1）知，椭圆C的方程为
所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0，－1)．
因为l₁的斜率存在，所以设l₁的方程为y＝kx－1．
代入，得，
从而．  6分
用代k得
所以△DMN的面积S＝ 8分
则＝  
因为，即
整理得4k⁴－k²－14＜0，解得＜k²＜2
所以0＜k²＜2，即＜k＜0或0＜k＜．
从而k的取值范围为．