Question

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+

a2

x

+7．若“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命题，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：利用“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命题，得到“?x∈[0，+∞]，f（x）≥a+1”恒成立，然后解不等式即可．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0，
当x＞0时，-x＜0，
∴f（-x）=-9x-

a2

x

+7=-f（x），
∴f（x）=9x+

a2

x

-7，x＞0，
∵“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命题，
∴“?x∈[0，+∞]，f（x）≥a+1”恒成立，
当x=0时，f（0）=0≥a+1，
即a≤-1＜0，
当x＞0时，由9x+

a2

x

-7≥a+1，恒成立，
∴9x+

a2

x

≥a+8恒成立，
∵9x+

a2

x

≥2

9x• a2 x

=6|a|，
∴6|a|≥a+8，
即-6a≥a+8，
∴a≤-

8

7

，
故答案为：a≤-

8

7

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，复合命题与简单命题之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用基本不等式将不等式转化为最值恒成立是解决本题的关键．