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A已知数列{an}是首项为数学公式,公比q=数学公式的等比数列,设数学公式数学公式,数列{cn}满足cn=an•bn

(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn
(3)若数学公式对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
B已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,数学公式数学公式,其中λ为实数,n为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列;
(Ⅲ)设0<a<b(a,b为实常数),Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.

A解:(1)由题意得:an=

==
故数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.
(2)∵数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列,
,bn=3n-2,



-

(3)∵=9(1-n)
∴当n=1时,
当n≥2时,cn+1<cn,即c1=c2<c3<c4<…<cn
∴当n=1时,cn取最大值是
对一切正整数n恒成立,

即m2+4m-5≥0,得m≥1,或m≤-5.
B解:(Ⅰ)证明:假设存在一个实数,使{an}是等比数列,则有
即(2=
等价于2-4
等价于9=0矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1an-2n+14)
=-(-1)n•(an-3n+21)=-bn
当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,
,(n∈N+).
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列,
(Ⅲ)由(2)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-n-1,于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立,
即a<-(λ+18)•[1-(-n]<b(n∈N+),

,则当n为正奇数时,1<f(n)
当n为正偶数时,
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=
于是,由①式得
∴-b-18<λ<-3a-18,
当a<b≤3a时,由-b-18≥-3a-18,不存在实数满足要求;
当b>3a存在λ,使得对任意正整数n,
都有a<Sn<b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18).
分析:A:(1)由题意得:an=,由,知=3,由此能证明数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.
(2)由,bn=3n-2,知,故,由错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Sn
(3)由=9(1-n),知当n=1时,,当n≥2时,cn+1<cn,由此能求出实数m的取值范围.
B:(Ⅰ)假设存在一个实数,使{an}是等比数列,则有,即(2=,等价于9=0矛盾.所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=-bn,故当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,,(n∈N+).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.
(Ⅲ)由λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求,知λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-n-1,于是Sn=-,要使a<Sn<b对任意正整数n成立,即a<-(λ+18)•[1-(-n]<b(n∈N+),由此能求出λ的取值范围.
点评:本题考查数列与不等式的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为a等于1且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.
(1) 求和 Tn=a1+a4+a7+…+a3n-2
(2) 证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是无穷等比数列,其前n项和是Sn,若a2+a3=2,a3+a4=1,则
lim
n→∞
Sn
的值为(  )
A、
2
3
B、
4
3
C、
8
3
D、
16
3

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A已知数列{an}是首项为a1=
1
4
,公比q=
1
4
的等比数列,设bn+2=3log
1
4
an  (n∈N*)
,数列{cn}满足cn=an•bn
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn
(3)若cn
1
4
m2+m-1
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
B已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=
2
3
an+n-4
bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年安徽省六安市舒城中学高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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