Question

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1，若f（x）的单调减区间是（0，4），则在曲线y=f（x）的切线中，斜率最小的切线方程是

12x+y-8=0

．

Answer 1

分析：f（x）的单调减区间是（0，4），即f'（x）＜0的解集为（0，4），从而解出k=1．由此可得f'（x）=3x²-12x在x=2时有最小值为-12，即得斜率的最小值为-12，再求出切点纵坐标并结合直线方程的点斜式列式，可求出斜率最小的切线方程．

解答：解：∵f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1，∴f'（x）=3kx²-6（k+1）x．
由f'（x）=0解得：x=0或

2k+2

k

，
∵f（x）的单调减区间是（0，4），
∴f'（x）=3kx²-6（k+1）x＜0的解集为（0，4）
因此可得：k＞0且

2k+2

k

=4，解之得k=1
∴f（x）=x³-6x²．可得f'（x）=3x²-12x=3（x-2）²-12
由此可得，当x=2时，f'（x）的最小值为f'（2）=-12
∴切线斜率的最小值为-12，此时的切点坐标为（2，-16）
可得斜率最小的切线方程为y-（-16）=-12（x-2），化简得12x+y-8=0．
故答案为：12x+y-8=0．

点评：本题给出三次多项式函数，给出函数的单调减区间的情况下，求斜率最小的切线方程．着重考查了利用导数研究函数的切点、直线方程的基本形式和二次函数求最值等知识，属于中档题．