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【题目】已知椭圆C的方程是 =1(a>b>0),其右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列,且该数列的三项之和等于6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB与椭圆C交于点A,B(A在第一象限),满足2 ,当△0AB面积最大时,求直线AB的方程.

【答案】
(1)解:∵右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列,

∴此三项分别为:a﹣c,a,a+c,且a=a﹣c+

可得:c=

又该数列的三项之和等于6,

∴3a=6,解得a=2,

∴b2=a2﹣c2=1.

∴椭圆C的方程为: +y2=1


(2)解:设直线AB的方程为:my=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立 ,化为:(4+m2)y2﹣2mty+t2﹣4=0,(*)

△>0,可得4+m2>t2

∴y1+y2= ,y1y2=

∵满足2

∴2y1+y2=0.

∴y1= ,y2=

=

∴8m2t2=(4﹣t2)(4+m2).

|y1﹣y2|= =

∴SOAB= |t|= ≤2× × =1,当且仅当4+m2=2t2时取等号.

联立8m2t2=(4﹣t2)(4+m2),4+m2=2t2

解得:t2= ,m2=

∴直线AB的方程为: y=x±


【解析】(1)由于右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列,可得此三项分别为:a﹣c,a,a+c,且a=a﹣c+
可得:c,又该数列的三项之和等于6,可得3a=6,b2=a2﹣c2 . 解出即可得出.(2)设直线AB的方程为:my=x+t,A(x1 , y1),B(x2 , y2).与椭圆方程联立化为:(4+m2)y2﹣2mty+t2﹣4=0,△>0,利用根与系数的关系及其2 ,即2y1+y2=0.可得8m2t2=(4﹣t2)(4+m2).利用SOAB= |t|= 及其基本不等式的性质可得:4+m2=2t2 . 联立解出即可得出.

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年龄/周岁

3

4

5

6

7

8

9

身高/cm

94.8

104.2

108.7

117.8

124.3

130.8

139.1

根据以上样本数据,她建立了身高 (cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为 ,给出下列结论:
①y与x具有正的线性相关关系;
②回归直线过样本的中心点(42,117.1);
③儿子10岁时的身高是 cm;
④儿子年龄增加1周岁,身高约增加 cm.
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B.2
C.3
D.4

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