Question

已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=

2

3

，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；
②GH⊥PD．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，取CF的中点为K，连结PK，BK，则PK∥GF，从而四边形EBKF为平行四边形，由此能证明PB∥平面EFG．
（2）连结PE，分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足：①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．

解答： （1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，
取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线，
∴PK∥GF，
∵PK?平面EFG，∴PK∥平面EFG，
∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，
∵BK?平面EFG，∴BK∥平面EFG，
∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB，
又∵PB?平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE?平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，

3

），D（-1，4，0），

PD

=（-1，4，-

3

），∵P（0，0，

3

），
D（-1，4，0），

PD

=（-1，4，-

3

），
∵

PG

=

1

3

PD

=（-

1

3

，

4

3

，-

3

3

），
∴G（-

1

3

，

4

3

，

2 3

3

），
设点H（x，y，0），且-1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：

x2+(y-4)2

＞y+4，
∴x²＞16y，（-1≤x≤1），（i）
又

GH

=（x+

1

3

，y-

4

3

，-

2 3

3

），
∵GH⊥PD，∴

GH

•

PD

=0，
∴-x-

1

3

+4y-

16

3

+2=0，即y=

1

4

x+

11

12

，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x²-12x-44＞0，
解得x＞2+

2 42

3

或x＜2-

2 42

3

，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有-1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．