Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）在BC边上是否存在一点M，使得D点到平面PAM的距离为2，若存在，求BM的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PDC⊥平面PAD，只要证明DC⊥平面PAD即可，由PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形可以得到证明；
（Ⅱ）假设存在，设出BM的长度，利用等积法求出BM，只要BM的长度不超过4说明假设成立，否则假设不成立．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AB，
又∵PA⊥底面ABCD，且CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：假设BC边上存在一点M满足题设条件，令BM=x，
∵AB=2，BC=4．且PA⊥底面ABCD，PA=2，
则在Rt△ABM中，AM=

AB2+BM2

=

4+x2

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴SRt△PAM=

1

2

PA•AM=

4+x2

，
S△AMD=

1

2

AD•AB=4．
又∵V_P-AMD=V_D-PAM，
∴

1

3

×2×4=

1

3

×2×

4+x2

，解得x=2

3

＜4．
故存在点M，当BM=2

3

时，使点D到平面PAM的距离为2．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了空间距离的求法，训练了“等积法”求点到面的距离，是中档题．