Question

已知椭圆C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1与双曲线C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦点，则椭圆C₁的离心率e的取值范围为（　　）

• A、（

  2

  2

  ，1）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（0，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由椭圆C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1与双曲线C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦点，可得m＞0，n＜0．因此m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．于是椭圆C₁的离心率e=

1- -(-1) m+2

=

1- 1 m+2

，利用不等式的性质和e＜1即可得出．

解答：解：∵椭圆C₁：

x2

m+2

-

y2

n

=1与双曲线C₂：

x2

m

+

y2

n

=1有相同的焦点，
∴m＞0，n＜0．
∴m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．
∴椭圆C₁的离心率e=

1- -(-1) m+2

=

1- 1 m+2

＞

1- 1 2

=

2

2

，又e＜1，
∴椭圆C₁的离心率e的取值范围为(

2

2

，1)．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、不等式的性质，属于基础题．