已知函数,
.
(1)若,判断函数
的奇偶性,并加以证明;
(2)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数使得关于
的方程
有三个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
(1)奇函数,(2),(3)
解析试题分析:(1)函数奇偶性的判定,一要判定定义域是否关于原点对称,二要判定与
是否相等或相反,(2)函数
是分段函数,每一段都是二次函数的一部分,因此研究
单调性,必须研究它们的对称轴,从图像可观察得到实数
满足的条件:
,(3)研究方程根的个数,通常从图像上研究,结合(2)可研究出函数
图像.分三种情况研究,一是
上单调增函数,二是先在
上单调增,后在
上单调减,再在
上单调增,三是先在
上单调增,后在
上单调减,再在
上单调增.
试题解析:(1)函数为奇函数.[来
当时,
,
,∴
∴函数为奇函数; 3分
(2),当
时,
的对称轴为:
;
当时,
的对称轴为:
;∴当
时,
在R上是增函数,即
时,函数
在
上是增函数; 7分
(3)方程的解即为方程
的解.
①当时,函数
在
上是增函数,∴关于
的方程
不可能有三个不相等的实数根; 9分
②当时,即
,∴
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,∴当
时,关于
的方程
有三个不相等的实数根;即
,∵
∴
.
设,∵存在
使得关于
的方程
有三个不相等的实数根, ∴
,又可证
在
上单调增
∴∴
; 12分
③当时,即
,∴
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,.
(1)求f(-1)的值;
(2)求函数f(x)的值域A;
(3)设函数的定义域为集合B,若AÍB,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(
).
(1)证明:当时,
在
上是减函数,在
上是增函数,并写出当
时
的单调区间;
(2)已知函数,函数
,若对任意
,总存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.
已知函数,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设定义域为的函数
(Ⅰ)在平面直角坐标系内作出函数的图象,并指出
的单调区间(不需证明);
(Ⅱ)若方程有两个解,求出
的取值范围(只需简单说明,不需严格证明).
(Ⅲ)设定义为的函数
为奇函数,且当
时,
求
的解析式.
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