Question

在正方体AC₁中，直线BC₁与平面A₁BD夹角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC₁与平面A₁BD夹角的余弦值．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体AC₁的棱长为1，
则B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
设平面DBA₁的法向量

n

=（x，y，z），

n • DA1 =x+z=0 n • DB =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
设直线BC₁与平面A₁BD夹角为θ，
又

BC1

=（-1，0，1），
则sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

-1+0-1

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴直线BC₁与平面A₁BD夹角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．