Question

直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当|MA|•|MB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设出直线l的截距式方程：

x

a

+

y

b

=1（a、b均为正数），根据题意利用基本不等式求出当且仅当a=4、b=2时，△OAB面积为S=4达到最小值，由此即可得到直线l的方程的方程；
（II）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N，设∠MAP=α，利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=

4

sin2α

，根据正弦函数的值域可得当α=45°时，|MA|•|MB|=4达到最小值，进而得到此时直线l方程为x+y-3=0．

解答：解：（I）设直线l方程为

x

a

+

y

b

=1（a、b均为正数），
∵l过点M（2，1），
∴

2

a

+

1

b

=1．
∵1=

2

a

+

1

b

≥2

2 a • 1 b

，化简得ab≥8，当且仅当

2

a

=

1

b

时，即a=4，b=2时，等号成立，
∴当a=4，b=2时，ab有最小值8，
此时△OAB面积为S=

1

2

ab=4达到最小值．
直线l的方程的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（II）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N
设∠MAP=α，则Rt△MPA中，
sinα=

|MP|

|MA|

，得|MA|=

|MP|

sinα

=

1

sinα

，
同理可得：|MB|=

2

cosα

∴|MA|•|MB|=

2

sinαcosα

=

4

sin2α

∵sin2α∈（0，1]，
∴当2α=90°时，即α=45°时，sin2α=1达到最大值，|MA|•|MB|=

4

sin2α

=4达到最小值，
此时直线l的斜率k=-1，得直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

点评：本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知识，属于中档题．