Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）设PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用（1）的结论可得∠BED即为二面角B-PC-D的平面角，求出即可．

解答：（1）证明：由正方形ABCD可得：对角线BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．
∵OE⊥PC，BD∩OE=O，
∴PC⊥平面BDE．
（2）由（1）可知：PC⊥平面BDE．
∴PC⊥BE，PC⊥DE，
∴∠BED即为二面角B-PC-D的平面角．
∵Rt△PAC∽Rt△OEC，∴

OE

OC

=

PA

PC

，
∴OE=

OC×PA

PA2+AC2

=

2 ×2

22+(2 2 )2

=

6

3

．
由（1）可知：BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE．
在Rt△BOE中，tan∠BEO=

OB

OE

=

2

6 3

=

3

，∴∠BEO=60°．
同理可得：∠DEO=60°．
∴∠BED=120°．
∴二面角B-PC-D的平面角∠BED=120°．即二面角B-PC-D为120°．

点评：熟练掌握正方形的性质、线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的定义及求法是解题的关键．