Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为.

（Ⅰ）求直线的斜率；

（Ⅱ）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；

（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．

（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0．…（1）

将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0．…（2）

由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；

（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，

由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．

∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，

∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，

∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．

∵O到直线CD的距离为，即|AB|=

又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，

∴四边形ACBD的面积．