Question

把实数a，b，c，d排形成如

a b c d

的形式，称之为二行二列矩阵．定义矩阵的一种运算

a b c d

•

x y

=

ax+by cx+dy

，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵

a b c d

的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵

0 1 1 0

的作用下变换成点

 

，又若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵

1 a b 1

的作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b的值为

 

．

Answer 1

分析：由于（ax+by，cx+dy）=（0×2+1×3，1×2+0×3）=（3，2），设（x，y）是曲线x²+4xy+2y²=1的点，在矩阵

1 a b 1

的作用下的点为（x′，y′），得出关于a，b的方程组，从而解决问题．

解答：解：（ax+by，cx+dy）=（0×2+1×3，1×2+0×3）=（3，2），
设（x，y）是曲线x²+4xy+2y²=1的点，在矩阵

1 a b 1

的作用下的点为（x′，y′），
即

x′=x+ay y′=bx+y

又x′²-2y′²=1，∴（x+ay）²-2（bx+y）²=1，（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1．
故

1-2b=1 2a-4b=4 a2-2=2

?

a=2 b=0.

∴a+b=2．
故答案为：2．

点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a，b；属于基础题．