分析:(1)把a=-4代入,先求定义域,在求导数,令f′(x)>0,f′(x)<0,求解函数的单调区间,即可得到函数的最小值.
(2)先求导数,由函数f(x)在区间[
,2]上单调递减,转化成f′(x)≤0在[
,2]上恒成立,利用参数分离法即可求出a的范围.
(3)对参数a分类讨论,求导函数,由f′(x)>0,可得函数f(x)的单调增区间;由f′(x)<0,可得函数的单调减区间,从而可求函数的极值;.
解答:解:由于函数f(x)=alnx+(x-1)
2,(a∈R).
则
f′(x)=+2(x-1)=
,(x>0)(1)由于a=-4,则
f′(x)==令f′(x)>0,则x>2,
故函数f(x)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增
故f(x)的最小值为f(2)=1-4ln2
(2)由于函数f(x)在[
,2]上存在单调递减区间,
则2x
2-2x+a≤0亦即a≤-2x
2+2x在[
,2]上恒成立
故y=-2x
2+2x在[
,2]上递减,且最小值为
故实数a的取值范围是:
a≤(3)当△=2
2-4×2×a≤0,即
a≥时,
f′(x)=,(x>0)恒大于等于0,
故此时函数无极值.
当0
<a<时,令
f′(x)=>0,(x>0),则0<
x<或
x>,
故此时函数在
x=处取得极大值,在
x=处取得极小值.
当a≤0时,令
f′(x)=>0,(x>0),则
x>,
故此时函数无极大值,在
x=处取得极小值.
综上,当
a≥时,函数无极值;
当0
<a<时,函数在
x=处取得极大值,在
x=处取得极小值;
当a≤0时,函数无极大值,在
x=处取得极小值.
点评:本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求函数单调区间,由f′(x)>0(<0)得函数的单调增(减)区间,而在解不等式f′(x)>0(<0)时,如果含有参数时,要注意对参数分类讨论.