Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

2

3

an+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{n|a_n|}的前n项和为T_n，求数列{T_n}的通项公式、

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式即可，要验证n=1时通项是否成立；
（Ⅱ）由n|a_n|=3n•2^n-1对数列{n|a_n|}用错位相减法求和即可得数列{T_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）a₁=3，当n≥2时，Sn-1=

2

3

an-1+1，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=

2

3

an-

2

3

an-1，
∴n≥2时，

an

an-1

=-2
∴数列a_n是首项为a₁=3，公比为q=-2的等比数列，
∴a_n=3•（-2）^n-1，n∈N^*
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n|a_n|=3n•2^n-1．
∴T_n=3（1+2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1）
2T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）
∴-T_n=3（1+2+2²+2³++2^n-1-n•2ⁿ）
∴-Tn=3[

1-2n

1-2

-n•2n]
∴T_n=3+3n•2ⁿ-3•2ⁿ

点评：本题第一问考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．