Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3x-{x}^{2}-2}$的定义域为A，函数f（x）=a-2x-x²的值域为B．
（1）若（∁_R A）∪B=R，求a的取值范围；
（2）设集合C={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}，若A∩C=C，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
（2）若A∩C=C，等价为C⊆A，根据一元二次不等式的解法进行讨论求解即可．

解答 解：（1）由3x-x²-2≥0得x²-3x+2≤0，
解得1≤x≤2，即A=[1，2]，
f（x）=a-2x-x²=-（x+1）x²+1+a≤1+a，
即B=（-∞，1+a]，
则∁_R A=（-∞，1）∪（2，+∞），
若（∁_R A）∪B=R，
则1+a≥2，即a≥1，
即a的取值范围[1，+∞）；
（2）由x²-（a+a²）x+a³＜0得（x-a）（x-a²）＜0，
当a=1或a=0时，不等式无解，即C=∅，
当0＜a＜1时，a²＜a，不等式的解为a²＜x＜a，即C=（a²，a），
当a＞1或a＜0时，a²＞a，不等式的解为a＜x＜a²，即C=（a，a²），
若A∩C=C，则C⊆A，
当C=∅，即a=1或a=0时满足条件，
若0＜a＜1时，满足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}≥1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥1或a≤-1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，此时不等式组无解．
若a＞1或a＜0时，满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{a≥1}\\{{a}^{2}≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{a≥1}\\{-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤$\sqrt{2}$，
综上1≤a≤$\sqrt{2}$或a=0．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．