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已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为

(Ⅰ)求证:|MN|=  

(Ⅱ)是否存在,使得三点共线.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数,使得不等式成立,求的最大值.

解:(Ⅰ)设两点的横坐标分别为 

∴切线的方程为:

切线过点,即,  (1)

同理,由切线也过点,得.(2)

由(1)、(2),可得是方程的两根,  ( * )

把( * )式代入,得,

因此,函数的表达式为

(Ⅱ)当点共线时,

,即

化简,得

              .   (3)

       把(*)式代入(3),解得.    存在,使得点三点共线,且

       (Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数,

       则

依题意,不等式对一切的正整数恒成立,

对一切的正整数恒成立.

.  由于为正整数,

又当时,存在,对所有的满足条件.

因此,的最大值为

解法:依题意,当区间的长度最小时,得到的最大值,即是所求值.

长度最小的区间为

时,与解法相同分析,得,解得

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已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为

(1)求证:为关于的方程的两根;

(2)设,求函数的表达式;

(3)在(2)的条件下,若在区间内总存在个实数(可以相同),使得不等,则m的最大值,为正整数

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(本小题满分12分) 已知函数和点,过点作曲线的两条切线,切点分别为

(1)求证:为关于的方程的两根;

(2)设,求函数的表达式;

(3)在(2)的条件下,若在区间内总存在个实数(可以相同),使得不等式成立,求的最大值.

 

 

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