Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）求证：_|MN|=  

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，  ，

∴切线的方程为：，

又切线过点， 有，即，  （1）

同理，由切线也过点，得．（2）

由（1）、（2），可得是方程的两根，  （ * ）

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函数的表达式为．

（Ⅱ）当点、与共线时，，

＝，即＝，

化简，得，

              ，．   （3）

       把（*）式代入（3），解得．    存在，使得点、与三点共线，且 ．

       （Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，

       则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，

，

即对一切的正整数恒成立．

， ，

．  由于为正整数，．

又当时，存在，，对所有的满足条件．

因此，的最大值为．

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为，

当时，与解法相同分析，得，解得．