Question

某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求P_n（b）（可用公式（1-）ⁿ=）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知a₁进而利用余额除以n发给第2位职工，求得a₂=（1-）•b，同理可求得a₃．以此类推发现数列成等比数列，公比为1-，进求得a_k．
（2）根据（1）中的a_k进而代入a_k-a_k+1结果大于0，由题意可知业绩大的在数列的前面，且拿的奖金多，进而可判断出此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）根据题意可分别表示出f₁（b），f₂（b），推断出f_k（b），进而利用极限的基本运算求得P_n（b）．
解答：（1）解：a₁=，a₂=（1-）•b，a₃=（1-）²•b，…，a_k=（1-）^k-1•b．
（2）证明：a_k-a_k+1=（1-）^k-1•b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）解：设f_k（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
则f₁（b）=（1-）•b，f₂（b）=（1-）²•b，…，f_k（b）=（1-）^k•b，
得P_n（b）=f_n（b）=（1-）ⁿ•b，
故P_n（b）=．
点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．