Question

15．已知函数f（x）=ax+lnx，判断命题“若f（2）≥f（e），则a＜0”的真假．并证明你的结论．

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）=ax+lnx的减区间，结合f（2）≥f（e），得到关于a的不等式，求出a的范围可得命题“若f（2）≥f（e），则a＜0”的真假．

解答 解：函数f（x）=ax+lnx，命题“若f（2）≥f（e），则a＜0”为假．
证明：∵f（x）=ax+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，令f′（x）＜0，解得x＞-$\frac{1}{a}$，
故f（x）的单调减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞），
∵f（2）≥f（e），∴f（x）在[2，+∞）上单调递减，
则$-\frac{1}{a}＜2$，即$a＜-\frac{1}{2}$．
∴若f（2）≥f（e），则a＜$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．