Question

讨论函数f（x）=(

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)x2-2x的单调性，并求其值域．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令t=x²-2x，则y=(

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)t，本题即研究函数t的单调性．利用二次函数的性质可得函数t的单调区间，再由指数函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，从而求得函数y的单调区间；再由二次函数的值域，结合指数函数的单调性和值域，可得函数f（x）的值域．

解答： 解：令t=x²-2x，则y=(

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)t，
由于二次函数t=x²-2x=（x-1）²-1，利用二次函数的性质可得
t的减区间为（-∞，1）、增区间为[1，+∞）．
故由指数函数的单调性可得，
函数y的减区间为[1，+∞），增区间为（-∞，1）；
再根据t≥-1，可得(

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)t≤(

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)-1=5，但f（x）＞0，
故函数f（x）的值域为（0，5]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题和易错题．