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已知圆O:x2+y2=2交x轴于AB两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切;

(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与AB重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)因为,所以c=1

  则b=1,即椭圆的标准方程为

  (Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=-2x

  又椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q(-2,4)

  所以,又,所以,即

  故直线与圆相切

  (Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切

  证明:设(),则,所以

  所以直线OQ的方程为

  所以点Q(-2,)

  所以,又

  所以,即,故直线始终与圆相切


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:辽宁省沈阳二中2011-2012学年高二上学期期中考试数学文科试题 题型:013

已知圆O:x2+y2=1,点P在直线上,O为坐标原点,若圆O上存在点Q,使∠OPQ=30°,则点P的纵坐标y0的取值范围是

[  ]
A.

[-2,2]

B.

[0,2]

C.

[-1,1]

D.

[0,1]

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科目:高中数学 来源: 题型:

       已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+(y-4)2=1,由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB,切点分别为A、B,如图,满足|PA|=|PB|;

       (Ⅰ)将两圆方程相减可得一直线方程l:x+y-4=0,该直线叫做这两圆的“根轴”,试证点P落在根轴上;

       (Ⅱ)求切线长|PA|的最小值;

(Ⅲ)给出定点M(0,2),设P、Q分别为直线l和圆O上动点,求|MP|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆Ox2y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(ab)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.

(1)求ab间关系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

 已知圆Ox2y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(ab)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.

(1)求ab间关系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-2)2+(y-4)2=1,由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB,切点分别为A、B,如图,满足|PA|=|PB|.

(1)求实数a、b间满足的等量关系;

(2)求切线长|PA|的最小值;

(3)是否存在以P为圆心的圆,使它与圆O相内切并且与圆C相外切?若存在,求出圆P的方程;若不存在,说明理由.

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