Question

已知a∈R，函数f（x）=-a（

3

sin2x+cos2x）+2a+b，当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域是[-5，1]．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，设g（x）=f（x+

π

2

）（x∈R），求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式：f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，然后，根据三角函数的图象和性质对a的取值情形进行分类讨论，求解；
（Ⅱ）根据g（x）=f（x+

π

2

），得到g(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，然后，结合三角函数的单调性进行求解单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-a（

3

sin2x+cos2x）+2a+b，
∴f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，
∵x∈[0，

π

2

]’
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-2sin(2x+

π

6

)∈[-2，1]，
∴当a＞0时，f（x）∈[b，3a+b]，
即 

3a+b=1 b=-5

，∴

a=2 b=-5

； 
当a＜0时，f（x）∈[3a+b，b]，
即 

3a+b=-5 b=1

∴

a=-2 b=1

；
∴a=2，b=-5或a=-2，b=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知：f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，
∴g(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，
由2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
得x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
由2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，
∴g（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（其他写法参照给分）

点评：本题综合考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质、诱导公式等知识，考查比较综合，属于中档题．