Question

（1）已知实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是；
（2）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，问是A=B的什么条件？请给出说明过程；
（3）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}，，问是A=B的什么条件？请给出说明过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别化简A和B两个集合，找出A=B 的等价条件，即得要证结论．
（2））“”是“A=B”的充分不必要条件，利用比例式的性质证明充分性成立，通过举反例可得必要性
不成立．
（3）通过给变量取特殊值，举反例可得充分性和必要性都不成立，从而得到“”是“A=B”的既不充分
也不必要条件．
解答：解：（1）因为 ，，故，
故命题成立．…..（4分）
（2）“”是“A=B”的充分不必要条件．        …..（6分）
证明：充分性：
若x∈A，即x是方程a₁x²+b₁x+c₁=0的解，则a₁x²+b₁x+c₁=0，
而非零实数a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂满足，
设，则可得k（a₂x²+b₂x+c₂）=0，
所以a₂x²+b₂x+c₂=0，即x是方程a₂x²+b₂x+c₂=0的解，即x∈B，
于是A⊆B．同理可证B⊆A，所以A=B．                 …..（10分）
必要性不成立，例如：当A=B=ϕ 时，不能推出成立．…..（11分）
（3）如果系数a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂都是非零实数，不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别是A和B，
则“”是“A=B”的既不充分也不必要条件．       
如  a₁ =1，b₁=2，c₁=-3，a₂=-2，b₂，=-4，c₂=6 时，
A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}={x|x²+2x-3＞0}={x|x＜-3，或 x＞1 }，
B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}={x|-2x²-4x+6＞0}={x|x²+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，
显然，A≠B．故成分性不成立．  …..（14分）
当A=B 时，a₁ =1，b₁=2，c₁=3，a₂=1，b₂，=-4，c₂=6 时，
A={x|x²+2x+3＞0}={x|x∈R}=R，B=x|x² -4x+6＞0}={x|x∈R}=R，
显然不满足，故必要性也不成立． …..（16分）
点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．