Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x1 ， x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为 ．

Answer 1

【答案】50
【解析】解：f（x）=ax2+8x+b，

此函数的图象与x轴的两个交点在区间（﹣1，1），

∴

∴ 即有 ，

∵a，b为互不相等的正整数，

∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），

（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9个．

∴a+b的最小值是9，最大值为16．

则f（1）+f（﹣1）=2（a+b）的最大值与最小值分别为M=32，m=18，

可得M+m=50．

故答案为：50．

由|x1|＜1，|x2|＜1知，方程的两根在区间（﹣1，1）内，f（x）=ax2+8x+b，此函数的图象与x轴的两个交点在区间（﹣1，1）内，可得，f（﹣1）＞0，f（1）＞0，且对称轴在区间（﹣1，1）内，最小值小于0．由此列条件求a+b的最值，进而得到M+m的和．