Question

【题目】设相互垂直的直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.

（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；

（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，详见解析

【解析】

（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出线段的中点坐标，利用弦长公式计算出，于此得出圆心坐标和半径长，再写出圆的标准式方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，分别计算出和，可计算出的值，在直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为

，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及韦达定理计算出，同理计算出，代入题中等式计算出的值，从而说明实数存在。

（1）由题意可设的方程为，代入可得．

所以，的中点坐标为． 　

又，

所以，以为直径的圆的方程为．

（2）假设存在常数，使得恒成立．

①当与轴垂直或与轴垂直时，

；

②设直线的方程为，则直线的方程为．

将的方程代入得：．

由韦达定理得：，，

所以．

同理可得．

所以．

因此，存在，使得恒成立．