Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x） 为“一阶比增函数”．
（Ⅰ） 若f（x）=ax²+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）是“一阶比增函数”，求证：?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：f（x）＞2013有解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“一阶比增函数”的意义及一次函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明；
（Ⅲ）利用“一阶比增函数”的意义和（Ⅱ）的结论即可证明．

解答：解：（I）由题意得y=

f(x)

x

=

ax2+ax

x

=ax+a在（0，+∞）是增函数，
由一次函数性质知：当a＞0时，y=ax+a在（0，∞）上是增函数，
∴a＞0．
  （Ⅱ）∵f（x）是“一阶比增函数”，即

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
又?x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∴

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
∴f(x1)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
∴f(x1)+f(x2)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=f（x₁+x₂）．
（Ⅲ）设f（x₀）=0，其中x₀＞0．
因为f（x）是“一阶比增函数”，所以当x＞x₀时，

f(x)

x

＞

f(x0)

x0

=0．
法一：取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m．
由（Ⅱ）知f（2t）＞2m，同理f（4t）＞2f（2t）＞4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m．
所以一定存在n∈N*，使得f（2ⁿt）＞2ⁿm＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．
法二：取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记

f(t)

t

=k．
因为当x＞t时，

f(x)

x

＞

f(t)

t

=k，所以f（x）＞kx对x＞t成立．
只要 x＞

2013

k

，则有f（x）＞kx＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．

点评：正确“一阶比增函数”的意义及增函数的定义及利用已经证明过的结论是解题的关键．