练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1B1C1D1，且这个几何体的体积为数学公式．
    （1）求棱A1A的长；
    （2）若线段AC与BD交于点E，求证：D1E∥平面A1C1B；
    （3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，指出线段C1P的长，如果不存在，请说明理由．

    解：（1）设A1A=h，∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ，
    ∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=，
    即SABCD×h-×S△A1B1C1×h=，
    即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
    ∴A1A的长为4．
    （2）取A1C1的中点F，连接D1F
    ∵长方体ABCD-A1B1C1D1，
    ∴AA1∥DD1，且AA1=DD1，DD1∥CC1，DD1=CC1，E是AC的中点．
    ∴AA1∥CC1，且AA1=CC1
    ∴四边形AA1C1C为平行四边形，又F是A1C1的中点，E是AC的中点，
    ∴AA1∥EF，且AA1=EF，
    ∴DD1∥EF，且DD1=EF，
    ∴四边形EFD1D为平行四边形
    ∴D1F∥DE，且D1F=DE，
    ∴D1F∥EB，且D1F=EB
    ∴四边形D1FBE为平行四边形，
    ∴D1E∥BF
    ∵BF?平面A1C1B，D1E?平面A1C1B，
    ∴D1E∥平面A1C1B
    （3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
    过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．
    因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
    ∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，
    又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，
    且A1P?平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．
    ∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD，
    ∴，∴C1Q=1
    ∵△C1PQ∽△C1BC，
    ∴，
    即，
    ∴．
    ∴在线段BC1上存在点P，使直线A1P与C1D垂直，且线段C1P的长为．
    分析：（1）设A1A=h，已知几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ，利用等体积法VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，进行求解．
    （2）取A1C1的中点F，连接D1F，要证D1E∥平面A1C1B，只需要证明D1E∥BF，只需证明边形D1FBE为平行四边形，利用条件可证；
    （3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再根据△C1PQ∽△C1BC，可求线段C1P的长．
    点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=
    		3
    ，AD=
    		3
    ，AA′=1，则AA′和BC′所成的角是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•上海） 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•青浦区二模）（理）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．
    求：
    （1）顶点D'到平面B'AC的距离；
    （2）二面角B-AC-B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
    （Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
    （Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案