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(2013•浦东新区二模)已知直角△ABC的三边长a,b,c,满足a≤b<c
(1)在a,b之间插入2011个数,使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an },且它们的和为2013,求c的最小值;
(2)已知a,b,c均为正整数,且a,b,c成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1,S2,S3,…Sn,且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn,求满足不等式T2n>6•2n+1的所有n的值;
(3)已知a,b,c成等比数列,若数列{Xn}满足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n
(n∈N+),证明:数列{
Xn
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且Xn是正整数.
分析:(1)由等差数列的前2013项的和求出a+b的值,利用勾股定理写出c2=a2+b2,然后利用基本不等式求c的最小值;
(2)设出三角形三边的公差,由勾股定理求得三边与公差的关系,把面积用公差表示,则Sn可求,把Sn代入
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n后,先裂项后利用等差数列求和公式求和,得到Tn后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式T2n>6•2n+1的所有n的值;
(3)由a,b,c成等比数列,结合直角三角形中边的关系求出
c
a
,代入
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n
后整理,进一步得到
5
Xn+
5
Xn+1=
5
Xn+2
,由此可证数列{
Xn
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且Xn是正整数.
解答:(1)解:{an}是等差数列,∴
2013(a+b)
2
=2013
,即a+b=2.
所以c2=a2+b2=
2(a2+b2)
2
(a+b)2
2
=
22
2
=2

所以c的最小值为
2

(2)解:设a,b,c的公差为d(d∈Z),则a2+(a+d)2=(a+2d)2
∴a=3d.
设三角形的三边长为3d,4d,5d,面积Sd=
1
2
×3d×4d=6d2(d∈Z)
,则Sn=6n2
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n
=6[-12+22-32+42-…+(2n)2]
=6(1+2+3+4+…+2n)=12n2+6n.
T2n>6•2n+1n2+
1
2
n>2n

当n≥5时,2n=1+n+
n(n-1)
2
+…≥2+2n+(n2-n)
n2+
1
2
n

经检验当n=2,3,4时,n2+
1
2
n>2n
,当n=1时,n2+
1
2
n<2n

综上所述,满足不等式T2n>6•2n+1的所有n的值为2、3、4.
(3)证明:因为a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由于a,b,c为直角三角形的三边长,知a2+ac=c2,∴
c
a
=
1+
5
2

5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n(n∈N*)
,得
5
Xn=(
1+
5
2
)n-(
1-
5
2
)n

于是
5
Xn+
5
Xn+1=(
1+
5
2
)n-(
1-
5
2
)n
+(
1+
5
2
)n+1-(
1-
5
2
)n+1

=(
1+
5
2
)n+2-(
1-
5
2
)n+2=
5
Xn+2

∴Xn+Xn+1=Xn+2,则有(
Xn
)2+(
Xn+1
)2=(
Xn+2
)2

故数列{
Xn
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
因为
X1=
5
5
[(
5
+1
2
)1-(
1-
5
2
)1]=1

X2=
5
5
[(
5
+1
2
)2-(
1-
5
2
)2]=1

X3=X1+X2=2∈N*
由Xn+Xn+1=Xn+2,同理可得XnN*Xn+1N*⇒Xn+2∈N*
故对于任意的n∈N*都有Xn是正整数.
点评:本题以直角三角形边的关系为载体,考查了等差数列的前n项和公式,考查了利用基本不等式求最值,考查了用裂项法求数列的和,训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小,此题综合性强,难度较大.
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