Question

7．在△ABC中，$∠A=\frac{π}{3}$，BC=3，$AB=\sqrt{6}$，则∠C=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用大边对大角可求∠C的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用正弦定理即可求得AC的值．

解答 解：∵$∠A=\frac{π}{3}$，BC=3，$AB=\sqrt{6}$，
∴sinC=$\frac{AB•sinA}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB＜BC，可得：∠C＜∠A，
∴∠C=$\frac{π}{4}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$，$\frac{{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．