Question

【题目】已知过点的曲线的方程为．

（Ⅰ）求曲线的标准方程:

（Ⅱ）已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，．

（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；

（ⅱ）求最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）1

【解析】

(I)由题意把点代入方程可得的值，利用椭圆的定义可求出曲线的标准方程；

(II)(i)先设，，的中点，和直线的方程为和直线的方程为，联解椭圆方程可得到的坐标，证明即三点共线，即证明出平分线段；

(ii)利用两点间距离公式和椭圆弦长公式分别求出，利用基本不等式求最值.

解：（Ⅰ）将代入曲线的方程，

即，

解得；

由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，

即，，

所以的标准方程为．

（Ⅱ）（ⅰ）设，，的中点

设的方程为，

则的方程为，

所以．

将直线与椭圆的方程联立，

得．

则，，

，

，

，

平分线段．

（ⅱ），

，令，即，

令，

则，

在上为增函数，

即，

（当且仅当“”时取等号）

的最大值为1．