Question

6．如图，F₁、F₂是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线分别交于点A、B，若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（　　）

• A． $8\sqrt{3}$
• B． $9\sqrt{3}$
• C． $18\sqrt{3}$
• D． $27\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义，可得|BF₁|=2a，|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，即可求出△BF₁F₂的面积．

解答 解：根据双曲线的定义，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|AF₂|=|AB|
∴|AF₁|-|AB|=|BF₁|=2a
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
在双曲线中：a²=9，
∴△BF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}•2a•4a•\frac{\sqrt{3}}{2}$=18$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．