Question

（2012•四川）函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由x0∈(-

10

3

，

2

3

)，知

π

4

x₀+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），由f(x0)=

8 3

5

，可求得即sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，利用两角和的正弦公式即可求得f（x₀+1）．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），
又正三角形ABC的高为2

3

，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

，
∴数f（x）的值域为[-2

3

，2

3

]…6分
（Ⅱ）∵f（x₀）=

8 3

5

，由（Ⅰ）有f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
即sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，由x0∈(-

10

3

，

2

3

)，知

π

4

x₀+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．
∴f（x₀+1）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）=2

3

sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]
=2

3

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）
=

7 6

5

…12分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．