Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示。为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，
（1）设AB＝x米，cosA＝f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值。

Answer 1

解：（1）在△ABD中，
由余弦定理得BD²＝AB²+AD²-2AB·AD·cosA，
同理，在△CBD中，BD²＝CB²+CD²-2CB·CD·cosC，
因为∠A和∠C互补，
所以AB²+AD²-2AB·AD·cosA＝CB²+CD²-2CB·CD·cosC
＝CB²+CD²＋2CB·CD·cosA，
即x²+（9-x）²-2x（9-x）cosA＝x²+（5-x）²＋2x（5-x）cosA，
解得cosA＝，
即f（x）＝，其中x∈（2，5）。
（2）四边形ABCD的面积S＝（AB·AD+ CB·CD）sinA
＝[x（5-x）+x（9-x）]
＝x（7-x），
记g（x）＝（x²-4）（x²-14x＋49），x∈（2，5），
由g′（x）＝2x（x²-14x＋49）＋（x²-4）（2x-14）
＝2（x-7）（2x²-7 x-4）＝0，
解得x＝4（x＝7和x＝舍），     
所以函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减，
因此g（x）的最大值为g（4）＝12×9＝108，
所以S的最大值为，
答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m²。