【题目】如图,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一点.
(I)求证: .
(II)若, 分别是, 的中点,求证: 平面.
(III)若二面角的大小为,求线段的长.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(1)先证明面可得;(2)连接交于点,根据几何知识可得可得,根据线面平行的判定定理可得平面;(3)建立空间直角坐标系,利用向量,通过计算求的长。
试题解析:(I)∵平面, 面,
∴.
∵, ,
∴中, ,
∴.
∵,
∴面.
∵面,
∴.
(II)连接交于点.
∵四边形是平行四边形,
∴是的中点.
又∵, 分别是, 的中点,
∴,且,
∴四边形是平行四边形,
∴.
又平面, 面,
∴平面.
(III)∵,且平面,
∴, , 两两垂直。
以为原点, , , 分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.
设,则, , , ,
∴, , .
设平面的法向量为,
故, ,
则有,令,则,
又平面的法向量为.
∵二面角的大小为,
∴,
解得,即,
,
∴.
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【题目】在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, 也是抛物线的焦点,点为与在第一象限的交点,且.
(1)求的方程;
(2)平面上的点满足,直线,且与交于两点,若,求直线的方程.
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【题目】已知圆: 过圆上任意一点向轴引垂线垂足为(点、可重合),点为的中点.
(1)求的轨迹方程;
(2)若点的轨迹方程为曲线,不过原点的直线与曲线交于、两点,满足直线, , 的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围.
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【题目】已知抛物线,直线过抛物线焦点,且与抛物线交于, 两点,以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
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【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程式;
(2)已知动直线与椭圆相交于两点.
①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;
②已知点,求证: 为定值.
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