Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知b=$\sqrt{2}$c，sinA+$\sqrt{2}$sinC=2sinB，则cosA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 已知第二个等式利用正弦定理化简，把第一个等式代入用c表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值即可．

解答 解：把sinA+$\sqrt{2}$sinC=2sinB，利用正弦定理化简得：a+$\sqrt{2}$c=2b，
把b=$\sqrt{2}$c代入得：a+$\sqrt{2}$c=2$\sqrt{2}$c，即a=$\sqrt{2}$c，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{c}^{2}+{c}^{2}-2{c}^{2}}{2\sqrt{2}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．