Question

在直角坐标系xOy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3。
（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（2）已知点G（1，0）和G′（-1，0），点P在轨迹M上运动，现以P为圆心，PG为半径作圆Ｐ，试探究是否存在一个以点G′（-1，0）为圆心的定圆，总与圆P内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）依题意知，直线的方程为：，①
直线的方程为：，    ②
设Q（x，y）是直线与的交点，①×②得，
由mn=3，整理得，
∵不与原点重合，
∴点不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为（x≠±2）。
（2）由（1）知，点G（1，0）和G′（-1，0）为椭圆的两焦点，
由椭圆的定义，得，即，
∴以G′为圆心，以4为半径的圆与⊙P内切，
即存在定圆⊙G′，该定圆与⊙P恒内切，其方程为。