Question

已知曲线S：y=2x-x³．
（1）求曲线S在点A（1，1）处的切线方程；
（2）求过点B（2，0）并与曲线S相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案．
（2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案．

解答：解：（1）∵y=2x-x³∴y'=-3x²+2
当x=1时，y'=-1
∴点A（1，1）处的切线方程为：y-1=（-1）（x-1）  即：x+y-2=0
（2）设切点坐标为（m，2m-m³）
则直线斜率k=

2m-m3

m-2

y'=2-3m²，整理得到：m³-3m²+2=0
m³-m²-2（m²-1）=0
m²（m-1）-2（m+1）（m-1）=0
（m-1）（m²-2m-2）=0
解得m₁=1，m₂=1+

3

，m₃=1-

3

当m=1时：k=2-3m²=-1，直线方程为y=-（x-2）=2-x；
当m=1+

3

时，k=2-3m²=-10-6

3

，直线方程为y=（-10-6

3

）（x-2）
当m=1-

3

时，k=2-3m²=-10+6

3

，直线方程为y=（-10+6

3

）（x-2）

点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率．