Question

【题目】已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和为Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）
（1）试求数列{an}的通项公式
（2）令bn= ，Tn是数列{bn}的前n项和．证明：对任意给定的m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，Tn＞m恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*），整理得：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1，

∴an=an﹣1=2n﹣1，即an﹣an﹣1=2n﹣1，n≥3，

∵a2﹣a1=2，

a3﹣a2=4，

a4﹣a3=23，

…

an﹣an﹣1=2n﹣1，

将上式累加整理得：an﹣a1=2+4+23+…+2n﹣1，

∴an= +3=2n+1，

数列{an}的通项公式an=2n+1；

（2）证明： bn= = = （ ﹣ ），

∴数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn，

= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，

= （ ﹣ ），

Tn+1﹣Tn= ＞0，

∴Tn随着n的增大而增大，

若Tn＞m，则 （ ﹣ ）＞m，化简整理得： ＞ ，

∵m∈（0， ），

∴1﹣6m＞0，

∴2n+1＞ ﹣1，

n＞log2（ ﹣1）﹣1，

当log2（ ﹣1）﹣1＜1时，即0＜m＜ ，取n0=1，

当log2（ ﹣1）﹣1≥1时，解得： ≤m＜ ，记log2（ ﹣1）﹣1的整数部分为p，

取n0=p+1即可，

综上可知，对任意m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，Tn＞m恒成立

【解析】（1）由题意可知Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1 ， 即an﹣an﹣1=2n﹣1 ， n≥3，采用“累加法”即可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知，bn= = = （ ﹣ ），采用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn ， 由函数的单调性可知，Tn随着n的增大而增大，分离参数n＞log2（ ﹣1）﹣1，分类log2（ ﹣1）﹣1＜1及log2（ ﹣1）﹣1≥1时，求得m的取值范围，求得n0的值，即可证明存在n0∈N*，使得当n≥n0时，Tn＞m恒成立．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．