Question

7．已知函数f（x-3）=lg$\frac{x}{x-6}$．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，可得函数f（x）的表达式；
（2）由（1）知定义域关于原点对称，再证f（-x）=-f（x），由定义可判断出函数为奇函数．

解答 解：（1）设x-3=t，则x=t+3，
∴f（t）=lg$\frac{t+3}{t-3}$，
∴f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$；
（2）由（1）可得定义域为 （-∞，-3）∪（3，+∞）
∵f（-x）=lg$\frac{-x+3}{-x-3}$=-lg$\frac{x+3}{x-3}$=-f（x）
∴f（x）是奇函数．

点评 本题考查对数函数的定义域，奇函数的证明，考查运算能力，变形转化的能力．求解本题关键是熟练掌握对数和运算法则．