Question

【题目】已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义:.

（1）当时，求；

（2）证明:存在常数，使得.

（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据，可以求出直线的斜率，这样可以求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，求出的值；

（2）当，可以求出的值；由抛物线的对称性，可设，，

设出直线的方程，与抛物线方程联立，可以求出的坐标，可以证明出，这样就证明出存在常数，使得；

（3）设，利用抛物线的定义，计算，

用作差法比较的大小，最后用作差法比较

，

的大小，最后判断出.

（1）因为.

联立方程，

则.

（2）当，易得，

不妨设，，

直线，则，

联立，，

，

.

（3）设，则

，

因为

，

又因

，

所以.