Question

17．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，b=2asinB，且b＞a．
（1）求A；
（2）若$a=2，c=2\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，根据B为三角形的内角，得到sinB不为0，在等式两边同时除以sinB，得到sinA的值，然后再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．
（2）由正弦定理可求得sinC的值，由C∈（0，180°），可得C，从而可求B，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）解：根据正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，在等式两边同时除以sinB得sinA=$\frac{1}{2}$，
又A为三角形的内角，
则A=30°或150°．
∵b＞a，A为锐角，
∴A=30°．
（2）∵由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C∈（0，180°），可得：C=60°或120°，
∴B=180°-A-C=90°或30°（b＞a，故舍去），即sinB=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×1$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求值时注意三角形内角的范围．