Question

19．已知数列{a_n}的首项为a₁=$\frac{1}{2}$，且2a_n+1=a_n（n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解　（1）由于数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且2a_n+1=a_n（n∈N₊）．
所以数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴a_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（2）由已知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴相减可得-T_n=1×2+1×2²+1×2³+…+1×2^n-1+1×2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．