Question

15．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{{a}^{x}+b}$为定义在R上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1-3lnm，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（-x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；
法二：由奇函数的性质：f（x）+f（-x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；
（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；
（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m的范围．

解答 （1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，
所以$f（x）+f（-x）=1-\frac{a}{{{2^x}+b}}+1-\frac{a}{{{2^{-x}}+b}}=0$在R上恒成立．…（2分）
所以 （a-2b）（2^x+2^-x）+2ab-2b²-2=0恒成立．
所以$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ ab=1+{b^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$…（4分）
由定义域为R舍去$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$，
所以$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．…（5分）
（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，
当x=0时，得$f（0）=1-\frac{a}{1+b}=0$，得a=b+1，…（1分）
当x=1时，f（1）+f（-1）=0，得$1-\frac{a}{2+b}+1-\frac{a}{{{2^{-1}}+b}}=0$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，…（3分）
此时$f（x）+f（-x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}+1-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=0$为奇函数；         …（4分）
所以$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．…（5分）
（2）函数f（x）为R上的单调增函数．  …（6分）
证明：设x₁，x₂是R上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=1-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-（1-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$    …（8分）
因为x₁＜x₂，又g（x）=2^x为R上的单调增函数，所以$0＜{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）为R上的单调增函数． …（10分）
（3）因为f（lnm）+f（2lnm-1）≤1-3lnm，即f（lnm）+lnm≤-f（2lnm-1）+1-2lnm
而函数f（x）为R上的奇函数，
所以f（lnm）+lnm≤f（1-2lnm）+1-2lnm．  …（12分）
令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）
设x₁，x₂是R上的任意两个值，且x₁＜x₂，
因为x₁-x₂＜0，由（2）知f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）+x₁-（f（x₂）+x₂）
=f（x₁）-f（x₂）+（x₁-x₂）＜0，
即h（x₁）＜h（x₂），所以h（x）为R上的单调增函数．
因为f（lnm）+lnm≤f（1-2lnm）+1-2lnm，
所以h（lnm）≤h（1-2lnm）所以lnm≤1-2lnm，…（14分）
解得$0＜m≤\root{3}{e}$，所以实数m的范围是$（{0，\root{3}{e}}]$．  …（16分）

点评 本题考查了奇函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性，以及构造法解不等式，考查方程思想，函数思想，化简、变形能力．