Question

（12分）如图，三条直线、、两两平行，直线、间的距离为，直线、间的距离为，、为直线上的两个定点，且，是在直线上滑动的长度为的线段.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求△的外心的轨迹；
（2）当△的外心在上什么位置时，使最小？最小值是多少？（其中，为外心到直线的距离）

Answer 1

解：（1）以直线b为x轴，以过点A且与b直线垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则由题意有A(0, p)，设△AMN的外心坐标为C(x, y)，则M(x – p，0)，N(x+p, 0)，
由题意有|CA|="|CM|." ∴
化简，得x²=2py，它是以原点为顶点、y轴为对称轴、开口向上的抛物线.    
（2）不难知道，直线c恰为轨迹E的准线，由抛物线的定义知，d=|CF|，其中是抛物线的焦点. ∴d+|BC|=|CF|+|BC|.
由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的使d+|BC|最小的点.
由两点式方程可求得直线BF的方程为，
把它与x²=2py联立，得.
故当△AMN外心C为时，d+BC最小. 最小值

略