【题目】设函数f(x)=3x2﹣4ax(a>0)与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解:设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点P(x0,y0)处的切线相同、
f′(x)=6x﹣4a,g′(x)= ,
由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即3x02﹣4ax0=2a2lnx0+b,6x0﹣4a=
由3x0﹣2a= 得x0=a或x0=﹣ a(舍去),
即有b=﹣a2﹣2a2lna.
令h(t)=﹣t2﹣2t2lnt(t>0),则h′(t)=﹣4t(1+lnt),
于是当﹣4t(1+lnt)>0,即0<t< 时,h′(t)>0;
当﹣4t(1+lnt)<0,即t> 时,h′(t)<0.
故h(t)在(0, )为增函数,在( ,+∞)为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h( )= ,
故b的最大值为 .
所以答案是:A.
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【题目】我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约( )
A.164石
B.178石
C.189石
D.196石
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【题目】下列四个命题中正确是( )
A.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数 (a>0且a≠1)的值域相同
B.函数y=与y=的值域相同
C.函数 与 都是奇函数
D.函数y=与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.
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【题目】已知函数
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)证明:f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(3)证明:方程f(x)=0没有负数根.
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【题目】设△ABC的三个内角分别为A,B,C.向量 共线. (Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2b,试判断△ABC的形状.
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【题目】如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, , 平面 , , , , 是 中点.
(I)求证:直线 平面 .
(II)求证:直线 平面 .
(III)在 上是否存在一点 ,使得二面角 的大小为 ,若存在,确定 的位置,若不存在,说明理由.
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