Question

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂﹣F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知AF₂⊥F₁F₂
∵椭圆离心率等于，
所以c=a，b²=a²，
故椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，
设A（c，y_A），代入方程得y_A=a，
所以A（a，a），
故直线AB的斜率k=，
因此直线AB的方程为y=
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△AEF1=S_△AF1F2，
所以
故椭圆方程为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，
设点M到直线AB的距离为d，则应有，
所以d=4
设M所在直线方程为x﹣2y±4=0
与椭圆方程联立消去x得方程4y²±8y+32=0
即y²±2y+8=0，
∵△=（±2）²﹣4×8＜0
故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8