Question

在棱长为

2

的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为

2

2

，则两圆的公共弦长是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出半径，再从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．

解答：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：

3

，
所以球的半径为：R=

3

2

，
设相互垂直两圆的圆心分别为O₁、O₂，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，
则OO₁EO₂为矩形，于是对角线O₁O₂=OE，
而 OE=

OA2-AE2

=

( 3 2 )2-AE2

=

2

2

，
∴AE=

1

2

，则AB=1；
故选C．

点评：考查两平面垂直的性质，正四面体的外接球，球的体积的求法，本题的突破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考查计算能力，空间想象能力．